写在前面的话

  • 本系列博客是Coursera上台大葉丙成老师的機率 (Probability)课程的笔记。其中涉及的版权内容均属原版权人所有。

本周主题

  • 概率公理性质
  • 条件概率

概率公理性质

公理(Axioms)

  • 公理,是指依据人类理性的不证自明的基本事实,经过人类长期反复实践的考验,不需要再加证明的基本命题。
    出自百度百科.
  • 为什么需要公理?
    • 数学有数学的语言,就是数理逻辑过程,它不会相信那些所谓显而易见的东西,只相信这个数理的逻辑过程,一切未经数学语言证明的东西都不能说是正确的。
    • 公理就是数理逻辑的原点、起点,其实任何逻辑过程都需要这样一个起点,由公理所证明是正确的东西,很多一部分我们称之为定理,然后,我们就可以直接利用定理推理其他的事物。没有公理,所有的定理都不存在,也就没有后面的数理逻辑过程了。
    • 所以数学本身一方面要坚持公理的存在,另一方面要坚持数理逻辑的证明过程,这两者是相互依存的。
  • 什么样的数学最重要?
    • 公理越少,公理越基本,越厉害!

概率三公理

  • 公理1(非负性):

    • 任何事件发生的概率都大于等于0
    • 特殊的,当事件发生的概率等于0,则称这个事件为不可能事件;当事件发生的概率等于1,则称这个事件为必然事件。
  • 公理2(归一性):

    • 所有事件发生的概率相加和为1.
  • 公理3(可加性):

    • 概率的加法,公里3搭起了集合运算与概率运算的桥梁。

这就是传说中的“神圣三公理”。

  • 公理衍生之概率性质
    • Ρ(Φ) = 0
    • P(A) = 1 - P(Ac)
    • P(A) = P(A - B) + P(A ∩ B)
    • P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
    • 切面包定理: